Solomon Marcus 90
Marcel Danesi

O ÎNTÂLNIRE PROVIDENȚIALĂ

Articol publicat în ediția Viața Românească 3-4 / 2015

 L-am întâlnit pentru prima dată pe Solomon Marcus la o conferință dedicată semioticii, desfăşurată la Imatra, în Finlanda, acum câteva decenii. Cred că aceasta a fost una dintre cele mai importante şi mai providențiale întâmplări din întreaga mea carieră de semiotician. Desigur, eram deja familiarizat, fie şi parțial, cu unele dintre scrierile sale esențiale despre limbă, sistemele de semne şi matematică, însă nu avusesem niciodată până atunci ocazia să discut în particular cu un asemenea savant eminent idei pe care le consideram a fi extrem de relevante pentru studiul matematicii. În cadrul conferinței, i-am fost prezentat oficial de către semioticianul Thomas A. Sebeok (1920-2001), cel care mă determinase să îmbrățişez această carieră şi mă sfătuise să nu mă limitez la statutul de simplu lingvist. Iar apoi, în timpul unei excursii cu autocarul pe care organizatorii conferinței respective o plănuiseră pentru participanți, am avut ocazia unică şi nesperată să stau chiar lângă dr. Marcus şi să port una dintre cele mai interesante şi mai importante convorbiri din întreaga mea viață. Mă aflam chiar lângă unul dintre maeştrii recunoscuți ai disciplinei mele şi, ca tânăr cercetător, nu aveam cum să nu mă simt intimidat de un asemenea mare profesor şi gânditor. Cu toate astea, mi-am dat seama pe dată că aveam de-a face cu proverbialul gentleman şi savant despre care se vorbea în cercurile ştiințifice, astfel că am putut să intru uşor într-un dialog pe care, altfel, nu mi l-aş fi putut niciodată imagina şi la care nici nu aş fi putut spera prea uşor, date fiind tinerețea şi relativa mea lipsă de experiență. Solomon Marcus m-a făcut să mă simt imediat bine şi în largul meu şi a fost cu adevărat interesat de ideile mele, purtându-se într-un asemenea mod, încât m-a cucerit imediat.
Matematica şi semiotica au multe în comun. Cu toate acestea, matematicienii s-au oprit doar arareori asupra teoriilor semnului, aşa cum sunt ele privite de către semioticieni, pentru a-şi putea elabora propriile idei cu privire la natura profundă a matematicii. La fel, şi semioticienii şi-au aplicat rareori teoriile şi tehnicile de analiză la studiul structurilor matematice. Au existat, totuşi, câteva excepții: matematicienii francezi René Thom (1923-2002) şi Jean Petitot (1944- ) sunt două dintre cele mai cunoscute exemple. Dar poate că cel mai celebru – şi mai însemnat – e reprezentat de Solomon Marcus.
Din opera sa se vede clar că a privit matematica de facto ca fiind un sistem de semne, aruncând astfel o nouă lumină asupra modului în care matematica acționează şi asupra felului în care ea ajunge la descoperirile şi la formele elaborate pe care le-a înregistrat încă din Antichitate. Pentru toate acestea, Marcus este mai respectat de către matematicieni decât de propriii săi colegi semioticieni. El a deschis un drum important şi revoluționar care, după cum îmi dau seama, permite atât matematicii, cât şi semioticii să urmărească obiective ştiințifice similare (sau asemănătoare) în ceea ce priveşte modul în care matematica ne permite să percepem şi să înțelegem realitatea. Mai presus de toate, Solomon Marcus a evidențiat modul în care simbolismul (notația, sistemul de numerotare şi aşa mai departe) este suma şi substanța metodei matematice şi baza pentru viitoare descoperiri în această disciplină. Îmi amintesc că am stat de vorbă cu el chiar despre aceste chestiuni în timpul excursiei făcute atunci, în Finlanda, iar eu, jucând rolul avocatului diavolului, am încercat să susțin că matematica şi semiotica nu au, de fapt, nimic în comun. Însă Solomon Marcus nu s-a dat deloc bătut, demonstrându-mi cât se poate de convingător că semnele se află la baza oricărui sistem de gândire, în primul rând la baza matematicii. Mi-a explicat cum matematica se ocupă, de fapt, de semiotică, fără ca măcar să-şi dea seama de asta. Sebeok stătea pe scaunul din fața noastră, ascultând din când în când ceea ce discutam. A şi intervenit la un moment dat, pentru a reafirma unul dintre argumentele sale devenite deja clasice, şi anume că această stare de lucruri ar putea fi numită „Sindromul lui Monsieur Jourdain.” Jourdain, se ştie, e unul dintre personajele din piesa lui Molière, Burghezul gentilom (1670), personaj care, atunci când i se spune că foloseşte o bună proză, răspunde că nici nu-şi dăduse seama că se exprimă în proză. În mod asemănător, mi-a sugerat Sebeok, laolaltă cu Solomon Marcus, matematica se exprimă într-un limbaj de care nici măcar nu-şi dă seama – şi pe care nu-l conştientizează nici specialiştii matematicieni: semiotica.
Acea excursie cu autocarul nu a părăsit niciodată subconştientul meu. După mulți ani, am întemeiat Cognitive Science Network (Rețeaua Ştiințelor Cognitive) în cadrul Institutului Fields de Cercetări în Ştiințe Matematice de la Universitatea din Toronto. În anul 2012, unul dintre primii invitați pe care i-am avut a fost Solomon Marcus, în cadrul unui important workshop menit să apropie matematica, semiotica şi ştiințele cognitive. La acea întâlnire, dr. Marcus s-a transformat rapid în adevăratul lider de opinie, căci toată lumea îl asculta ca pe marele reprezentant al erudiției, tradiției şi rațiunii. A convins pe dată pe toți cei prezenți, începând cu celebri lingvişti şi matematicieni şi terminând cu propriii mei studenți, că a studia legătura dintre semiotică şi matematică e de cea mai mare importanță în contextul cultural al zilelor noastre, când matematica a devenit limbajul veritabil, chiar dacă neconştientizat, dar, oricum, veritabil, al tuturor tehnologiilor pe care le utilizăm în viața de fiecare zi.
În studiul său din 1962, care a pus bazele cercetării surselor cognitive ale teoriilor ştiințifice, filosoful american Max Black a susținut convingător că geneza noțiunilor teoretice şi a tuturor fundamentelor ştiințelor şi a matematicii nu e doar rezultatul muncii oamenilor de ştiință care ar fi fost capabili să le deducă în urma observațiilor empirice ori a procedurilor experimentale, ci deopotrivă, şi poate în primul rând, a capacității lor de a face legături şi de a stabili conexiuni între fapte, alte teorii şi chiar elemente ale experienței  cotidiene. Cu alte cuvinte, creierul uman este un organ care dezvoltă inferențe folosind propriile sale produse, cum ar fi diferite sisteme de semne, pentru a face descoperiri. În mod indirect, Black a pus bazele studiului semiotic al naturii matematicii şi ştiinței, susținând şi o serie de idei radicale pentru perioada în care şi-a făcut cunoscute teoriile.
De atunci, s-a scris foarte mult cu privire la aplicațiile posibile ale semioticii în studiul matematicii, dar suficient de puțin cu privire la structura bazată pe esența semnului care determină coerența domeniului matematic, înțeles ca un limbaj al permanentei descoperiri. Asta nu înseamnă că matematicienii nu au realizat niciodată că ceea ce fac se întemeiază pe dezvoltarea unui simbolism propriu. Dar au fost prea preocupați de problemele lor, pentru a-şi mai da seama de importanța semioticii ca mijloc teoretic necesar pentru a înțelege exact semnificațiile respectivului simbolism. În calitatea sa de întemeietor al semioticii moderne, filosoful, matematicianul şi specialistul american în pragmatică Charles S. Peirce (1839–1914) a abordat adesea aceste aspecte în studiile sale, la fel cum a făcut-o şi lingvistul şi semioticianul de origine rusă Roman Jakobson (1896–1982). Dar sarcina de a unifica realmente aceste două discipline aparent atât de diferite nu a fost îndeplinită niciodată complet, savanții ezitând, în general, să şi-o asume, cu câteva excepții notabile, reprezentate de Thom, Petitot şi mai ales de Solomon Marcus.
În studiile sale cu adevărat vizionare, Solomon Marcus a discutat pe larg modul în care matematica s-a folosit de strategiile semioticii şi de gândirea inferențială pentru a ajunge la demonstrații cu adevărat convingătoare şi pentru a-şi edifica noțiunile fundamentale. Această atitudine a unit matematica şi semiotica în mod epistemologic, câtă vreme țelul ambelor discipline, după cum susține Marcus, a fost întotdeauna acela de a descoperi cum sunt constituite structurile simbolice şi cum îşi codifică acestea referenții ce duc la ulterioara înțelegere globală a lumii. Studiind relația dintre matematică, privită ca veritabilă „formă mentală”, şi matematica văzută ca „sistem de simboluri”, putem dobândi o cunoaştere profundă a relației stabilite între cunoaştere şi simbolism.
Una dintre aceste „forme mentale” pe care le foloseşte matematica este limbajul figurat, în primul rând metafora. Ideea conform căreia metafora joacă un rol important în logica matematică pare a nu fi fost luată în serios până la noile generații de specialişti în domeniul cognitiv, cum ar fi George Lakoff şi Rafael Núñez, care, în cartea lor apărută în anul 2000, intitulată De unde vine matematica (Where Mathematics Comes from), au demonstrat cum cunoaşterea metaforică subliniază şi susține descoperirea matematică. Dar, pentru a fi foarte exacți din punct de vedere istoric, trebuie să precizăm că Solomon Marcus spusese acest lucru cu mult timp înainte de ascensiunea ştiințelor cognitive. De pildă, la acel seminar de la Institutul Fields la care a participat la invitația mea, Marcusl a făcut o cuprinzătoare trecere în revistă a modului în care metafora joacă un rol important în domeniul matematicii:
„Multă vreme, metafora a fost considerată incompatibilă cu cerința de rigoare şi de precizie a matematicii. Aceasta s-a întâmplat deoarece metafora a fost privită ca simplu procedeu retoric, reprezentat de exemple precum „fata aceea e o floare.” Dar cea mai mare parte din terminologia matematicii este rezultatul unui proces metaforic constând în transferuri din limbajul comun. Termeni matematici precum funcție, reuniune, incluziune, frontieră, distanță, deschis, închis, număr imaginar, număr irațional sau rațional sunt doar câteva exemple în acest sens. Procese metaforice asemănătoare au loc în interiorul componentei artificiale a limbajului matematic.”
La aceeaşi dezbatere, Marcus a argumentat în mod strălucit că problemele matematice de la nivelul limbajului sunt menite să folosească acelaşi sistem conceptual al limbii în care au fost enunțate, şi că aceasta nu e nicidecum o descoperire a ştiinței cognitive contemporane, ci o situație veche, pe care o regăsim în cadrul matematicii înseşi. De asemenea, el a subliniat şi ideile esențiale în acest domeniu ale fizicianului şi matematicianului Freeman Dyson, care a enunțat următoarea perspectivă globală asupra relației dintre matematică şi gândirea metaforică:
„Matematica văzută ca metaforă e un slogan potrivit pentru păsări. Înseamnă că cele mai importante concepte ale matematicii sunt acelea care leagă lumea ideilor noastre cu o alta. În secolul al XVII-lea, Descartes a relaționat universurile aparent disparate ale algebrei şi geometriei, impunând conceptul de coordonată. Newton a legat lumea geometriei şi a dinamicii, prin intermediul unui concept pe care astăzi îl numim calcul diferențial şi integral.. În secolul al XIX-lea, Boole a stabilit o legătură între logică şi algebră, impunând conceptul de logică simbolică, iar Riemann a unit universul geometriei şi cel al analizei prin celebrele suprafețe Riemann. Coordonată, logică simbolică şi suprafețe Riemann sunt, toate, metafore, extinzând permanent sensul cuvintelor de la contextul familiar la cel nou. Manin consideră că viitorul matematicii constă în explorarea implicațiilor metaforei, care sunt deja vizibile, însă nu au fost clarificate întru totul.”
Acum, însă, problema devine alta: oare descoperirea principiilor matematice şi a conceptelor implică acelaşi mod de gândire, însă îndreptat în sens invers? Adică, este matematica elaborată prin intermediul recursului la gândirea metaforică? Solomon Marcus a clarificat acest aspect după cum urmează:
„Atunci când matematica este implicată într-un proces cognitiv modelator, sunt utilizate atât operațiile analogice, cât şi cele de indexare. Numai că, oricum am lua-o, conflictul rămâne inevitabil, deoarece modelul M al situației A ar trebui să fie concomitent cât mai aproape de A (pentru a creşte şansa ca enunțurile despre M să fie relevante şi pentru A), dar, pe de altă parte, M ar trebui să fie cât mai departe de A (pentru a mări şansa ca M să poată fi analizat printr-o metodă care nu este compatibilă cu natura lui A). O situație asemănătoare apare atunci când e vorba despre metaforele matematicii cognitive. Începând ca un model cognitiv sau o metaforă pentru o situație definită şi specifică, M dobândeşte un statut autonom şi e pasibil să devină model sau metaforă pentru o altă situație, nu o dată pentru una complet diferită. M poate primi o anumită interpretare, însă o poate abandona, pentru a primi, în schimb, o alta, din nou diferită. Nici un construct matematic nu poate fi limitat la o singură interpretare, libertatea sa semantică e infinită, deoarece aparține unui univers ficțional: matematica. Matematica are un impact deosebit de puternic asupra vieții, existenței şi lumii reale, iar acestea au un mare impact asupra matematicii, însă e întotdeauna nevoie de un proces de mediere: înlocuirea universului real cu unul ficțional.”
În fond, matematica nu e acel ceva „de dincolo” ce trebuie descoperit şi explicat de mintea omenească; este acel „înăuntru” al complexului trup-minte, în care întregul context social şi istoric joacă un rol determinant în modul în care ideile matematice sunt finalmente dezvoltate şi pentru felul cum ele reuşesc să pună în acord diferite domenii ale cunoaşterii. Solomon Marcus a susținut, la acel seminar pe care l-am organizat, că toate aspectele limbajului figurat mijlocesc şi subliniază descoperirile matematice, deoarece sunt fapte iconice (adică, imitative) în privința trimiterii la realitate, dar, în egală măsură sunt şi indexicale, relaționale. Prin urmare, metafora reprezintă pentru mintea iconica ceea ce  metonimia este pentru cea relaționala.
Complementară gândirii metaforice este gândirea metonimică. Prima este asociată cu gândirea iconică, a doua cu cea indexicală. Metonimia e peste tot în matematică, fie ca pars pro toto, fie ca inferență dacă-atunci. În ansamblul ei, matematica este o întreprindere metonimică, deoarece ea este preocupată de reducerea infinității la o infinitate numărabilă, apoi de a o reduce pe aceasta din urmă la o reprezentare finită şi, în cele din urmă, de a reduce finitul mare la unul cât mai mic. O problemă esențială în matematică, fie ca este vorba de numere, de funcții sau de alte entități, este aproximarea. Dar aproximarea este de natură metonimică. Cele mai multe numere reale au (în dezvoltare zecimală sau prin fracție continuă) o reprezentare esențial infinită, din care căutăm sa prindem o parte finită cât mai mare. Acest proces nu se opreşte niciodată. Un exemplu celebru este preocuarea de a cunoaşte cât mai multe din zecimalele numărului pi. Preocuparea a început cu Arhimede şi a continuat de-a lungul istoriei, pentru ca în ultima vreme să se folosească procedee indicate în carnetele lui Ramanujan. În ceea ce priveşte metonimia de tip dacă-atunci, ea este la baza gândirii deductive, de care ne prevalăm în prezentarea finală a rezultatelor matematice şi la care ne referim atunci când trebuie să validăm coorectitudinea unei demonstrații.
Un alt subiect fundamental pe care Profesorul Marcus l-a abordat în modul lui specific şi pătrunzător este acela legat de convingerea că epoca tehnologiei a adus o nouă modalitate de a practica matematica, o modalitate cu enorme implicații pentru viitorul acestei discipline. Astăzi, matematicienii acceptă dovezi sau demonstrații realizate cu ajutorul programelor de calculator, programe care au calitatea şi capacitatea de a „epuiza” literalmente toate variantele unei situații, pentru a putea ajunge, astfel, la rezultat. Nu e vorba aici de vreo formă de reductio ad absurdum, ci mai degrabă de o modalitate de a realiza în mod mecanic o parte a demersului argumentativ.  Această metodă a fost aplicată pentru a demonstra cunoscuta Teoremă a Celor Patru Culori şi pentru a găsi demonstrația Ultimei Teoreme a lui Fermat. Acest procedeu a fost inițial primit cu rezervă, având darul de a te lăsa cu un soi de „digestie” incompletă şi nesatisfăcătoare în comparație cu demonstrațiile clasice. După cum a subliniat Solomon Marcus la Seminarul la care ne-am referit, şi a făcut-o din nou extrem de documentat şi de convingător, utilizarea programelor de calculator într-o demonstrație matematică este ea însăşi problematică, deşi, fără îndoială, utilă din unele puncte de vedere:
Utilizarea unor programe de calculator drept componente ale demonstrațiilor matematice implică delicata problemă a naturii meta-teoretice, aflată în directă relație cu situația în care un program de calculator este supervizat de un alt program de calculator. Pe de altă parte, noua situație, în puternic contrast cu o lungă tradiție a demonstrațiilor matematice, are şi o serie de componente empirico-experimentale sau strict fizice ce ridică numeroase semne de întrebare, care vor trebui rezolvate în deceniile următoare. Totuşi, dacă, în urmă cu douăzeci de ani, atitudinea unor matematicieni față de demonstrațiile care folosesc programe de calculator era una refractară, se observă cum această opoziție s-a diminuat progresiv, iar acum voci importante afirmă că utilizareacalculatorului aduce beneficii demne de luat în seamă, devenind superioare celor obținute cu mijloace tradiționale.”
Solomon Marcus a discutat a analizat de asemenea geometria fractalilor. Unii fractali simulează situații din natură, cum ar fi linia țărmului sau crengilor copacilor. Cu toate că par neregulate, aceste forme au o organizare bazată pe un principiu ce implică repetarea şi predictibilitatea. Originile geometriei fractalilor pot fi descoperite în lucrările lui Bolzano şi Poincaré, însă subiectul a fost sintetizat în adevăratul sens al cuvântului de matematicianul Benoit Mandelbrot (1924-2010), care a explicat modul în care fluctuații întâmplătoare din natură şi din cadrul activităților umane pot fi simulate prin modele geometrice, pe care le-a numit fractali. Deci, fractalul e caracterizat prin proprietatea de autosimilaritate, constând în faptul că o aceeaşi regulă generativă, repetată ad infinitum, leagă aspectul global de cel local. Derivat din cuvântul latinesc fractus, termenul lui Mandelbrot sugerează un fenomen fragmentar şi discontinuu. Dar, aşa cum s-a constatat pe baza unor cercetări atente, fractalii dezvăluie un tip straniu de ordine ascunsă în forme care ar putea părea dezordonate celui care se mulțumeşte doar să le contemple. 
Un exemplu perfect în acest sens poate fi observat în cazul fulgilor de zăpadă, care au o formă specifică fractalilor. Un fulg poate fi generat printr-o simplă regulă transformațională – descoperită de matematicianul suedez Helge von Koch (1870-1924), în anul 1904. Pentru a-l construi, Koch a pornit de la un triunghi echilateral, completând treimea din mijloc a fiecărei laturi cu celelate două laturi care conduc la un triunghi echilateral mai mic şi repetând acest procedeu la infinit. Koch a creat curba care-i poartă numele şi care modelează matematic un fulg de zăpadă. Fractalii aparcu mult înainte ca geometria fractalilor să definească din punct de vedere matematic forma lor. Ei apar în epocile anterioare, în cadrul domeniului artistic sau în cazul anumitor artefacte. Un prototip timpuriu e identificabil încă în secolul al XIII-lea, în Italia, în catedrala din Ravello, al cărei architect e Nicola di Bartolomeo din Foggia. În  buddhismul Mahayana, natura fractalică a realității e surprinsă în Avatamsaka Sutra prin intermediul imaginii plasei zeului Indra, fiind, aici, vorba despre o rețea complexă de pietre prețioase ce atârnă deasupra palatului zeului, aranjate astfel încât toate pietrele se reflectă în fiecare din ele. În perioada contemporană, artişti precum Dalí, Pollock sau Escher au exploatat tehnica specifică fractalilor de creare a unei noi forme prin intermediul reduplicării repetate a còpiilor altei forme sau a uneia inițiale.
În cadrul seminarului la care l-am invitat pe Solomon Marcus, acesta a făcut următoarea observație extrem de pertinentă asupra acestei ramuri remarcabile a matematicii contemporane, care stabileşte legături neaşteptate cu diverse arii ale cunoaşterii, nu doar cu alte domenii ale studiului matematic:
„Ceea ce arta şi poezia au anticipat în secolul al XIX-lea alături de o serie de fenomene evidențiate de către Weierstrass, Peano şi Koch, cu privire la liniile curbe lipsite de tangente în toate punctele lor, devine clar şi demonstrat complet în cadrul matematicii din cea de-a doua jumătate a secolului trecut, când Benoit Mandelbrot a fundamentat geometria fractală a naturii. Ideea de bază a  acesteia este că natura, în majoritatea aspectelor şi formelor sale de manifestare, nu este nicidecum simplă şi regulată ori predictibilă. Norii, oceanele, țărmurile, mişcarea browniană, fulgii de zăpadă şi crestele montane nu se potrivesc şi nu corespund obiectelor perfect regulate din geometria tradițională. Chiar şi corpurile cereşti, considerate multă vreme modele de predictibilitate, se dovedesc a fi mult mai puțin regulate decât se credea cu ani în urmă. Cum să abordezi un univers de o asemenea complexitate? Răspunsul propus de Mandelbrot este însăşi noțiunea de obiect fractal. Asemenea obiecte sunt concepute şi obținute ca limite ale unor procese asimptotice, începând cu o serie de figuri regulate. Ceea ce le face extrem de atractive este simplitatea lor interioară, ascunsă, aflată mereu în contrast cu complexitatea aparentă: în cazul unui obiect fractal, vorbim despre un fenomen de autosimilaritate: acelaşi pattern  se repetă la toate nivelurile. De fapt, oricine poate verifica această afirmație privind cu atenție structura unui copac din pădure.”
Poate că cea mai bună intuiție a lui Solomon Marcus are în vedere natura descoperirilor matematice, el sugerând că simbolismul şi descoperirea sunt aflate în strânsă legătură. Introducerea notațiilor exponențiale pentru a simplifica sarcinile multifuncționale, de pildă, a dus la revelarea unor elemente noi şi neaşteptate, cum ar fi, de exemplu, că n0 este egal cu 1, în acest fel oferind un nou sens utilizării lui zero. Acest nou sistem de notare a condus şi la fundamentarea bazelor logaritmilor. În dialogul nostru din cadrul conferinței de la Imatra, Profesorul Marcus mi-a arătat, în felul său specific, plin de pasiune, însă deopotrivă extrem de serios şi de bine documentat, că matematica este, în acest fel, atât descoperită, cât şi inventată. Iar granița dintre aceste două accepțiuni este una extrem de fragilă.
Desigur, aşa cum ştim din episodul exponenților şi logaritmilor, invenția este uneori elementul precursor al descoperirii. Sistemul exponențial de notație este în mod structural mai economic decât cel multiplicativ.. Sistemele numerice folosite astăzi  (cum ar fi cel binar sau zecimal) sunt în mod esențial mai economice decât cele anterioare, care erau pline de elemente simbolice prin intermediul cărora ele încercau să reprezinte conceptele numerice (de pildă, pe cele romane). În cadrul sistemelor numerice pe care le utilizăm astăzi, lungimea reprezentării (modul de aranjare a numerelor) a fost mult redusă. Datorită acestor sisteme au fost făcute numeroase descoperiri care au pus, ulterior, bazele unor domenii de cercetare extrem de diverse, mergând de la programarea computerizată şi ajungând până la fizica cuantică.
Descoperirea, cu alte cuvinte, nu poate să aibă loc în mod forțat. Ea se petrece, pur şi simplu, după ce ideile care primesc formă reprezentată ajung să sugereze, la rândul lor, alte idei. Chiar filosofia Sfântului Augustin (354-430) a caracterizat acest aspect al gândirii omeneşti ca fiind un amestec al experienței cu o cunoaştere anterioară, convenționalizată. Descoperirea se produce după ce ideile ce primesc o structură formală vor sugera, la rândul lor, alte idei, prin intermediul acelei structuri. Inventarea logaritmilor a urmat inventării sistemului exponențial de notație, deoarece notația sugera alte modalități prin intermediul cărora să se poată elabora procesele gândirii. Interesant e că logaritmii sunt descoperiți, de asemenea, în anumite fenomene naturale cărora le sunt inerenți. Ecuația spiralei logaritmice apare pe neaşteptate în afara domeniului matematicii. Pentru a cita cuvintele matematicianului Robert Banks:
„Această minunată curbă îşi face apariția în multe locuri în natură. De exemplu, în hidrodinamică, spirala logaritmică apare atunci când un vârtej se combină cu orientarea către propria sursă la fel ca în cazul spiralei pe care o obținem cu toții când golim apa din cada de baie.”
În afara călătoriei pe care am făcut-o alături de Solomon Marcus cu autocarul, amintirile mele cu privire la acea conferință sunt destul de puține şi de neclare. De fapt, singurul lucru concret pe care mi-l aduc aminte de atunci e tocmai dialogul pe care l-am purtat cu Solomon Marcus şi modul lui aparte de a-şi transmite ideile – dar şi de a le face accesibile celor tineri. Fără influența Profesorului Marcus, e puțin probabil că aş fi pus bazele Rețelei de Ştiințe Cognitive, după ani de zile. Ideile sale par a fi pătruns adânc în subconştientul meu în timpul acelei excursii, rămânând cumva adormite pentru mult timp şi revenind la suprafață pentru a mă călăuzi pe drumul cercetărilor pe care savantul român mi le-a inspirat, dar şi pentru a mă ajuta să clarific acele probleme pe care le consider esențiale pentru studiul semioticii matematicii. Probabil că întâlnirea noastră a fost, cum ar fi spus cei din vechime, „scrisă în stele”.
Mă simt cu adevărat privilegiat pentru faptul că organizatorii conferinței de la Imatra m-au invitat la lucrările sale în urmă cu mulți ani, iar astfel am putut să-l cunosc personal pe  Solomon Marcus. Mi-am dat seama imediat, privindu-l cum discuta cu alți cercetători, mai cu seamă cu cei tineri, aşa cum eram eu însumi pe atunci, că, indiferent de cât de cunoscut profesor şi savant era, având o reputație internațională solidă în mai multe domenii ale cunoaşterii, Solomon Marcus arăta întotdeauna un profund respect față de colegii săi. Nici nu putea fi altfel. Marii gânditori sunt, invariabil, plini de respect pentru ceilalți. Iar acum, când a ajuns la venerabila vârstă de nouăzeci de ani, ne simțim mai onorați decât oricând să ne putem prezenta omagiul în fața unui adevărat gigant al istoriei ideilor. După cum scria filosoful german Arthur Schopenhauer (1788–1860) în anul 1851: „Mințile strălucite sunt legate de scurta perioadă de timp în care le este dat să trăiască, asemenea impunătoarelor edificii care sunt condiționate de micile piețe unde sunt situate: nu le poți observa la adevărata lor dimensiune deoarece te afli mult prea aproape de ele.”
Traducere de Rodica Grigore